El Problema de Isla Tortuga (solución)

Hace unos días propuse aquí el problema de Isla Tortuga y va siendo hora de que dé la solución. Como suele pasar con todos los buenos problemas, en este caso hay más chicha de lo que parece oculta en un sencillo enunciado de piratas y tesoros escondidos. Toda una nueva visión de la Geometría se esconde tras este problema… Pero antes, toca saber qué hizo el bueno de McClure para llegar al tesoro.

McClure se dió cuenta (como ya anticipaba mi tocayo en este comentario) de que podía hacer el camino inverso al propuesto por Patapalo y, aún así, llegar al punto 3. Es decir, en vez de pasar por A, B y C en ese orden, podía hacerlo en orden inverso (C, B y A) y el resultado es el mismo:

Isla Tortuga - Solución

Es más, visto el mapa completo, con los dos caminos marcados, queda claro que Patapalo uso este segundo camino para enterrar su tesoro. Fijaros en cómo bordea la isla casi a ras de playa, sin tener que cruzarla una y otra vez por el denso bosque que hay en el interior (vale, lo del bosque me lo estoy inventando, pero ciertamente las islas suelen ser más planas a poca distancia de la playa)

Qué ingenioso fue Patapalo al escoger los puntos de referencia de manera que se diera esta casualidad, ¿no? Pues no. Esto pasa siempre, de hecho, si eliges 4 puntos O, A, B y C del plano (en posición general) verás que girar O 180º respecto a A, 180º respecto a B y 180º respecto a C es lo mismo que hacerlo respecto a C, luego respecto a B y luego respecto a A. O, lo que es lo mismo, aplicar simetría central respecto a A, B, C, A, B y C (el mismo ciclo, 2 veces) deja cualquier punto invariante.

El resultado se puede generalizar un poco pero lo importante és pensar en este problema desde el punto de vista de las transformaciones geométricas y aquí es donde aparece una nueva visión de la geometría, que nació en 1872 de la mano de Felix Klein y que se basa en estudiar las propiedades que conservan las figuras tras aplicarles un determinado grupo de transformaciones.

Para entender un poco de qué va todo esto no hay nada como darse una vuelta por la Wikipedia:

¿Qué es entonces la Geometría?

Klein da respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometría un nuevo concepto de carácter algebraico: el concepto de grupo. Un grupo es un conjunto G en el que hay definida una operación, es decir, una aplicación G×G→G que a cada par de elementos del conjunto le asigna otro elemento del conjunto (que será el resultado de operar dichos dos elementos). Mientras que la mayoría de la gente está familiarizada con las operaciones numéricas, les resulta difícil imaginar que puedan operarse puntos, rectas, etc. Puede hacerse, y no hay más que pensar en, por ejemplo, la operación “tomar el punto medio”, que a cada par de puntos le asigna el punto medio del segmento que une los dos primeros puntos.

(…) El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él el que descubre un hecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cada geometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se le aplican un tipo de transformaciones. Esas propiedades, por no cambiar, las denomina invariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar han de tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dos transformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación al resultado de la primera).

Así Klein descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, giros y traslaciones), que la geometría afín es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las translaciones, que la geometría proyectiva es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e incluso que la Topología es el estudio de los invariantes mediante el grupo de las funciones continuas y de inversa continua, entre otras.

Creanme, el nivel de abstracción que requiere relacionar la geometría y la teoría de grupos merece la pena. Se trata de una de las ideas más bonitas y elegantes de las matemáticas y, además, es fuente de inspiración para otros campos de la ciencia, que también han acabado haciendo uso del Álgebra Abstracta.

BOLAEXTRA: En respuesta a la pregunta planteada en la BOLAEXTRA anterior… el ruso del que habla McClure es, ni más ni menos que I. M. Yaglom, autor de varios libros sobre transformaciones geométricas (Geometric Transformations I, II y III) que han sido la fuente de inspiración de estos dos artículos.

Escrito en 30/04/10 10:02 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

Gravatar.com se ha roto

Encontré el tesoro de Mêlée Island y era una camiseta 100% algodón.

Meldor | 30/04/10 12:11 | #
Gravatar.com se ha roto

Venga, voy a hacer yo un poco de abstracta… (no mucha)

Hay una frase que has soltado un poco al estilo “it is well known” que es cierta pero querria matizar. Dices que es lo mismo ver que ABC (donde ahora entiendo P como la rotacion de Pi, o la simetria, respecto al punto P) es igual a CBA, que ver que ABCABC es la identidad.

Aunque esto parece obvio en el dibujo, para una isla generica con puntos ABC donde se quiera no es del todo trivial geometricamente (o, almenos yo, con mi mente menos geometrica, no lo tengo tan claro).

Pero se puede ver de manera trivial desde el punto de vista de la teoria de grupos (aqui, uno barriendo pa’ casa). Es obvio que las simetrias centrales (o giros de Pi) son autoinversos. Es decir, AA deja qualquier punto fijo.

Ahora, lo que queremos ver es que ABC=CBA, o equivalentemente (ABC)(CBA)^(-1)=Id. Pero, como AA=Id, tenemos (CBA)^-1=ABC. De donde la original afirmacion es equivalente a ABCABC=Id.

Pero en conclusion, interesante problema y más interesante solucion. Me quedé con ganas de saber su respuesta en la maratón.

Yrekthelas | 30/04/10 18:39 | #
Gravatar.com se ha roto

que facil era, yo le di con trigonometria

joaquin | 20/05/10 04:29 | #
Gravatar.com se ha roto

hola
saludes ala islas tortuga i tambien enespecail i migran amiga del mar i de las estrellas la tortga estrella amiga te escribo desde colombia atrvez del satelite te deseo lo mejor i que DIOS te bendiga tortuga grnade soy tu amigo de verdad amo las tortuga ya que ellas me ayudaron hace muchos años i salude pra el señor ruod klein que DIOS lo ayude i la estrella lo guie mucho grcias te escrive dario rafael curiel el niño divino tambiem soy de esa dimension de las estrellas e hijo i heredero del trono de la corona de jesucristo grcias pido que me pongas las memorias i me des tantas fuerza i fortaleza ami vida i salud amigo

dario | 08/08/11 23:59 | #
Gravatar.com se ha roto

hola
pon la memoria en mi mente por lo que te pedi en mi mente hace un un segundo pra recordar todo lo mio grcias por la estrella i que me entreguen lo que es mio i me pertenese por ese DIOS grande i poderoso padre jesucristo grcias mi nombre es dario rafael curiel

dario | 11/08/11 18:16 | #

Deja un Comentario

Quizás quieras usar textile para dar formato a tu comentario.

"linktext":http://       _em_       *strong*       -strike-       ^sup^       ~sub~
bq. Blockquote       # Lista numerada       * Lista no-numerada       ==html crudo, sin textile==

(no será mostrado) (http://...)