El Teorema de Imposibilidad de Arrow

Voto

Ahora que hace relativamente poco que han pasado las elecciones y hay cierto mosqueo y revuelo con el sistema electoral creo que sería bueno sacar a relucir el Teorema de Imposibilidad de Arrow.

Kenneth Arrow, economista ganador del premio Nobel, demostró, en su tesis doctoral el teorema que lleva su nombre.

Sucintamente el teorema dice algo así como: Ningún sistema de voto es justo pero enseguida veremos que es algo precipitado tomar ese enunciado al pie de la letra.

Sistemas de voto justo

En lo que queda de artículo entenderemos por sistema de voto aquel sistema por el cual un conjunto de personas aportan su escala de valores al sistema y este devuelve una escala de valores global.

Por ejemplo, en unas elecciones consistiría en que cada persona aporte una lista donde aparecen todos los partidos políticos ordenados según los gustos personales de cada votante. El sistema debe recoger todos los datos y devolver una lista ordenada que se corresponda con la voluntad de todo el electorado.

Por ejemplo, si de cada lista individual nos quedamos con el primer partido (el favorito para ese votante) y le otorgamos un voto tenemos algo parecido a nuestras democracias de toda la vida.

Hay que observar que el sistema de voto es por lo tanto más general y tiene más información que lo que usamos ahora así que cabría esperar que fuese mejor. ¿Cuanto mejor?

Bueno, le vamos a exigir unas cuantas condiciones para poder llamarlo un sistema de voto justo:

Universalidad: El sistema tiene que ser válido para cualquier posible votación. Es decir, vote lo que vote la gente no debería colgarse.

No-imposición: El sistema debe permitir que cualquier posible resultado sea en efecto alcanzable. Es decir, no puede haber ningún resultado prohibido por la naturaleza del sistema.

Ausencia de dictadura: Ningún ciudadano puede tener la última palabra en la decisión final.

Monotonía: En ningún caso añadir un voto a favor de una determinada opción puede perjudicarla. Se admite, sin embargo, que no varíe el resultado.

Independencia de las alternativas irrelevantes: Si eliminamos unas cuantas opciones, la posición relativa del resto no debería variar al volver a aplicar el sistema de voto. Es decir, si A va delante de B seguirá delante aunque quitemos unas cuantas opciones y volvamos a aplicar el proceso.

A veces se cambia el requisito de Monotonía por el de Unanimidad, que es algo más restrictivo.

Unanimidad: Si todo el mundo prefiere la opción A a la opción B entonces en el resultado final A debe ir necesariamente por delante de B.

Bien, parecen algunas suposiciones lógicas y razonables para un sistema de votación ¿no creen?

Teorema de Imposibilidad de Arrow

El Teorema de Arrow dice que no existe ningún sistema de votación justo en el sentido que acabamos de enunciar que tenga al menos dos votantes y tres opciones de voto. La demostración se basa en asumir las hipótesis y encontrar un caso en el que existe un dictador.

La demostración es algo compleja para los legos en la materia y está disponible en Wikipedia. En cualquier caso podemos considerar el Teorema de Arrow probado y dedicarnos a buscar alternativas.

Posibles soluciones

Es posible que algunos de los requisitos que hemos exigido para llamar “justo” a un sistema de votación sean demasiado exigentes y que, a efectos prácticos, no sea necesario ser tan purista. Además el Teorema de Arrow demuestra que ponernos puristas no sirve de demasiado.

Así pues lo mejor es eliminar alguno de los supuestos y dedicarse a buscar un sistema lo mejor posible.

Los sistemas que más se acercan a la “justicia de Arrow” son los Métodos de Condorcet que procuran la elección del candidato que menos desagrada a la mayoría.

Otro sistema con muy buena pinta es el de Votación Preferencial o Instant-runoff que viene a ser un sistema a múltiples vueltas automático.

Conclusiones

Por otra parte es posible que si encontramos un sistema de voto cuasiperfecto no podamos llevarlo a la práctica por ser demasiado complicado, demasiado caro o, simplemente, falle el supuesto de que la gente vota a conciencia.

Así pues yo recomiendo tomarse el tema con calma y paciencia y corregir los posibles errores de nuestros sistemas electorales conforme se detecten.

[BOLAEXTRA] Cuando mi generación tuvo que decidir donde iríamos de viaje de fin de curso hicimos una reunión de más de 2 horas de duración para decidir el sistema de votación. Se trataba de decidir cómo 30 matemáticos elegirían entre 20 opciones para un viaje que era caro. En mi generación hay grandes matemáticos (entre los cuales no me cuento) y el viaje era suficientemente caro como para que pusiéramos todo nuestro empeño en elegir un buen sistema que contentara a todo el mundo. Huelga decir que el enrevesado sistema que finalmente escogimos no sólo no era justo en el sentido de Arrow sino que además contenía un buen puñado de fallos que sólo detectamos a posteriori.

Escrito en 28/03/08 09:32 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

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Curiosidad: qué sistema utilizastéis??

co | 28/03/08 10:28 | #
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@co: Pues a groso modo se hicieron unas cuantas rondas en las que la gente votaba 3 de las propuestas. La propuesta menos votada de cada ronda se eliminaba. Así hasta quedar 4 (o quizá fueron 5) propuestas, en las que se repitió el proceso pero votando una sóla propuesta cada vez y eliminando así mismo la menos votada hasta que quedó una (que fue la elegida).

El sistema falló en el tramo final por que un buen sistema de votación asegura que nadie esté muy descontento con el resultado y este no lo aseguraba. Cuando quedaban 5 opciones se debería haber votado en negativo y así nos hubiesemos asegurado de que entre esos 5 eliminábamos los que menos gustaban a más gente.

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Carlos Luna | 28/03/08 11:17 | #
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No creo que ese fuera un buen sistema: votar en negativo es un procedimiento delicado. Además, en la elección de un viaje, me parece, debiera escogerse según preferencias “positivas”.

Sin embargo, creo que hubiera sido más justo hacer una ÚNICA votación, donde cada uno ordenara las 20 opciones según preferencias, y otorgar a las 10 superiores una puntuación estilo Eurovisión. Bajo este supuesto, casi todos hubieran quedado, almenos, medianamente, contentos

Mi pregunta es la siguiente: ¿Por qué iban a querer cambiar el sistema (de votación, en este caso) aquellos que resultan beneficiados de sus imperfecciones? Seria estúpido.

Eisenreich | 30/03/08 00:27 | #
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@Eisenreich: Dos cosas.

1.- Siendo como eres un matemático tremendamente dado a la filosofía y la política me sorprende que obvies referirte a un teorema del calibre del que está expuesto en este post. Sobretodo teniendo en cuenta las implicaciones morales del mismo.

2.- En respuesta a tu pregunta: por ética profesional. Y por que una campaña propagandística bien dirigida puede hacerles perder votos si se niegan a cambiar una ley a todas luces injusta (quizá no les haga perder suficientes votos como para ser partidos minoritarios pero la amenaza de pasar a la oposición es suficiente como para que muevan el culo).

Carlos Luna | 30/03/08 10:44 | #
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@Carlos: Contesto.
1. Me sorprendió que hubiera un Teorema al respecto. Sin embargo, soy escéptico en la aplicación de las Matemáticas a las Ciencias Sociales en La Fundación, la PsicoHistoria es precisamente Ciencia-Ficción ;). Creo que la modelización de los valores humanos es terreno pantanoso.

2. La ética profesional es inexistente en los sistemas democráticos actuales, y me parece natural que así sea. Algunos de los requisitos exigidos no pertenecen a la idea original de Democracia, y quizá por ello lo que tenemos hoy día funcione de manera tan ineficiente, aunque eso ya son elucubraciones propias.

Sin embargo, hubo un filósofo que postuló [dudo entre Rosseau y Russell] que el sistema más justo seria aquél creado por un conjunto de juristas experimentados que, tras acabar el proyecto, murieran y volvieran a nacer aleatoriamente en esa sociedad

Aunque utópico, me parece casi correcto (falta por analizar la psicología de los juristas :)

Eisenreich | 30/03/08 19:53 | #
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@Eisenreich: Stanislav Lem también justifica ciertas conductas y mezquindades de los Humanos en base a temas tan peregrinos como la Termodinámica. En “La Voz de su Amo” expone algunas teorías nada alagüeñas al respecto.

Por otra parte, que algo sea natural en un contexto dado no significa que sea deseable. A mi me parece más bien triste que no exista la ética en una clase política que debería gobernar por y para el pueblo.

Pero como no se puede negar la realidad me reitero en el segundo motivo: Una buena campaña en contra del actual sistema electoral podría asustar suficientemente al PSOE como para apoyar un cambio (siempre que este cambio perjudique por igual al gobierno y la oposición).

Carlos Luna | 30/03/08 20:44 | #
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Entonces tambien sorprendera el Primer Teorema del Bienestar, el cual dice que la asignación a la que lleva un mercado es eficiente en el sentido de Pareto, es decir, tal vez no sea justa o “buena” pero es eficiente.

daniel | 05/08/08 02:55 | #
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En el viaje de fin de curso lo mejor habría sido emitir un sólo voto desde el principio, en vez de comenzar de 3 en 3.

Además, no hubiera estado mal sondear el ambiente desde un principio, y si a tí no te gusta una opcion y las 4 que quedan te dan igual apoyar de entre esas 4 la que crees que será mayoritaria.

Sobre el teorema de arrow, yo no entiendo la dictadura como él la entiende, si 1001 se imponen sobre 1000 no es una dictadura.

De todos modos, no se peuden corregir los errores del sistema electoral uno a uno, se debe buscar el más justo desde un principio, ya que las continuas modificaciones del sistema son peores que un mal sistema estable en el tiempo.

Como caso curioso te puedo decir que si divides Reino Unido en 650 circunscripciones y cada 5 años modificas las circunscripciones puedes obtener sobrerrepresentación máxima.

xabio | 17/05/10 17:00 | #

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