El Valor Esperado y la Paradoja de San Petersburgo

Dados

En el estudio de la probabilidad se usa frecuentemente el concepto de Valor Esperado. Pese a ser una herramienta útil que nos puede ayudar a tomar ciertas decisiones de forma racional también es un concepto que en ocasiones puede ser peligrosamente malinterpretado. Veamos porqué.

Valor Esperado

Empecemos por con un ejemplo sencillo:

Tira un dado, si sacas un número par te pago 2€, si sacas un 1 o un 3 me pagas 3€ y si sacas un 5 ni pagas ni te pago.

¿Nos es favorable este juego? ¿Cómo podemos saberlo? Bien, en este caso el Valor Esperado nos puede ayudar muy fácilmente.

Técnicamente se define como la suma de los productos de la probabilidades de los diferentes sucesos y sus respectivos beneficios.

Veamos que significa en este caso:

Posibles sucesos: A = {2,4,6} , B = {1,3} , C = (5)
Probabilidad de que pase cada suceso: P A = 1/2 , P B =1/3 , P C = 1/6
Valor de cada suceso: V A = +2 , V B = -3 , V C = 0

Valor Esperado para este juego: P A · V A + P B · V B + P C · V C = 1/2 · 2 + 1/3 · (-3) + 1/6 · 0 = 1 – 1 + 0 = 0

¿Qué significa esto? Pues muy sencillo, de media ganaremos 0€ en este juego. Es decir, si hacemos muchísimas partidas y contamos cuanto dinero hemos ganado (o perdido) al final seguramente será un valor muy próximo a 0€.

¿Y si modifican el juego y nos cobran 0,01€ por cada partida (que es francamente poco)? Pues entonces tendríamos que añadir otro suceso que tiene probabilidad 1 (siempre pasa) y vale -0,01 así que el valor esperado para una partida será de ahora de 1 – 1 + 0 – 0,01 = -0,01 lo que significa que de media perderemos un céntimo por cada partida que hagamos y por lo tanto si jugamos mucho perderemos mucho.

Eso no significa que no podamos hacer 10 partidas y ganar 20€ sino que a la larga jugar a este juego es perjudicial para la salud de nuestro bolsillo.

Un ejemplo de aplicación de esta herramienta se puede ver en concursos como Allá Tu donde cada jugada modifica el Valor Esperado por el jugador y la banca suele ofrecer un poco menos de ese valor para tentarlo y que abandone.

Por supuesto hay muchas más variantes y les invito a compartir cualquier duda que tengan al respecto en los comentarios.

Por cierto ambas conclusiones tienen resaltadas las palabras “de media” por que es precisamente aquí donde el Valor Esperado suele engañarnos. Veamos un par de ejemplos paradigmáticos:

Martingalas

Todo el mundo ha oído hablar de las Martingalas en los casinos.

Se trata de apostar una cantidad inicial que llamaremos K en un juego donde tengamos 50% de probabilidades de ganar (por ejemplo, Rojo a la Ruleta). Cada vez que perdamos multiplicamos por dos nuestra apuesta, cada vez que ganemos volvemos a apostar la cantidad inicial K.
El valor esperado para esta estrategia de juego es de K€. Es decir, si vamos jugando podemos perder muchas rondas, pero cuando ganemos una recuperaremos todo lo perdido hasta ese momento y además ganaremos K€.

¡Magnífico! ¿Vamos todos al casino esta noche?

Pues la verdad es que yo no iría. Las Martingalas fallan por dos sencillos motivos:

  • La probabilidad de que una apuesta del tipo Rojo gane en la Ruleta algo menor del 50% ya que existe el 0 y el 00 que no son ni rojos ni negros. Ya hemos visto antes que una pequeña diferencia puede variar el Valor Esperado de cualquier juego.
  • El monto de las apuestas que se tienen que hacer en una Martingala para que esta funcione crece exponencialmente y ni el jugador tiene dinero para pagarlo, ni el casino se arriesga a aceptar apuestas tan altas.

Podéis contar con que todos los juegos de un casino tienen un Valor Esperado negativo para el jugador. Mejor nos echamos unas manos al mus ¿no?

La Paradoja de San Petersburgo

Imaginemos este otro juego:

Se tira una moneda, si sale cara a la primera se ganan 2€, si sale cruz se vuelve a tirar. En la siguiente jugada la cara se paga a 4€, luego a 8€, 16€… y así hasta que salga una cara, momento en el que se vuelve a empezar. Cada vez que se empieza se debe pagar una cantidad fija K en concepto de inscripción. ¿Qué precio seria razonable pagar para poder jugar a este juego?

La respuesta es cualquiera y es lo que se llama La Paradoja de San Petersburgo.

El Valor Esperado de este juego es infinito sea cual sea la tasa de inscripción que nos cobren al principio. Esto es así porque el Valor Esperado se calcularía como:

1 · (-K) + 1/2 · 2 + 1/4 · 4 + 1/8 · 8 + … = -K + 1 + 1 + 1 + …

Que es claramente infinito por muy grande que sea K.

¿Eso significa que podemos pagar 1000€ felizmente para poder jugar a este juego? NO. Eso sólo significa que si jugásemos infinitas partidas nos saldría muy a cuenta pagar 1000€ cada vez de tasa de inscripción, pero como no tenemos ni dinero ni tiempo para jugar infinitas partidas lo mejor será que nos estemos quietos.

En definitiva: todos los casinos son rentables y el Valor Esperado no siempre es un concepto intuitivo.

Escrito en 26/11/07 09:51 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

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Sobre la paradoja de San Petesburgo y muchas más cosas les recomiendo el texto de la charla dada a la FME por Juan M.R. Parrondo y que pueden encontrar en:
http://www-fme.upc.es/documents/070214_conferencia_parrondo.pdf
Al final del artículo (son 18 páginas en total) presenta algunos juegos muy curiosos. A pesar de ser una charla para matemáticos creo que Parrondo es suficientemente claro y ameno para que cualquier persona con unos conocimientos básicos de probabilidades pueda enter lo que nos quiere contar. Por algo es el autor de la sección “Juegos Matemáticos” de la revista “Investigación y Ciencia”. Sección que, conjuntamente con las de “Ideas Aplicadas”, “Taller y Laboratorio” y “Curiosidades de la Física” de la misma revista, también les recomiendo.

Miquel N. | 26/11/07 16:02 | #
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Y sobre la paradoja de parrondo, es posible adaptarla para juegos del casino?
saludos

javier sinde | 22/04/08 07:40 | #
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MUY INTERESANTE EL ARTÍCULO

No pude conseguir el material de Parrondo de esa dirección. Si fueran tan amables me lo enviarían a natylsr@hotmail.com? Soy docente y me interesa trabajarlo con mis estudiantes. Gracias.

Naty | 11/06/09 06:15 | #
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@Naty: Si eres docente vas deberías tener más recursos.

Carlos Luna | 11/06/09 09:18 | #
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Great!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

directional coupler | 02/12/14 04:33 | #
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Las Martingalas es una estrategia un poco arriesgada ya que debes ir doblando siempre y no todo el mundo tiene el capital necesario para ir doblando tras cada pérdida. Tambien muchos jugdarores aplican la estrategia de Fibonacci y defienden que les va bien.

liana | 08/07/16 19:55 | #

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