La paradoja de la plata y el bronce

Hace mucho tiempo oí hablar de la paradoja de la medalla de plata y la medalla de bronce. Hoy pretendía explicarla brevemente en este post pero, sorprendentemente, la paradoja se ha desenrollado dando lugar a un montón de bonitas observaciones sobre los sistemas de eliminatorias deportivas.

El resultado se puede leer a continuación:

La paradoja original

Cito textualmente:

Se dice que “Las medallas de bronce se ganan y las de plata se pierden”. Hablando eso si, de los deportes de equipo con liguilla, semifinales y finales.

Es cierto, para ganar la plata basta con llegar a la final y PERDER el partido, mientras que para el bronce, hay que ganar un último partido.

La verdadera paradoja está en que al final, plata y bronce han ganado y perdido los mismos partidos, solo que la plata se consigue ganando semis y perdiendo finales y el bronce al revés…¿es lógico?

Sobre las eliminatorias

Un sistema de eliminatorias se basa en la suposición fundamental de que la operación ganar a es transitiva. Es decir, si A gana a B y B gana a C entonces suponemos que si A se hubiese enfrentado a C también lo habría ganado.

Obviamente esto es falso, pero como nadie quiere admitir que los enfrentamientos (y por lo tanto las competiciones) se ganan o se pierden prácticamente por puro azar suele darse por bueno.

En la imagen (olvidémonos por el momento de la parte gris) se pueden ver dos ejemplos típicos de eliminatoria con 8 equipos (A, B, …, H) y las fases de Cuartos de Final, Semifinales y Final representadas por 4, 2 y 1 punto de color naranja respectivamente.

En el de la izquierda podemos ver una eliminatoria estricta, en la que los equipos que pierden son eliminados sin excepción y por lo tanto tan sólo quedan determinados el primer y el segundo puesto. En la de la derecha aparece una segunda “Final” que decide el tercer y el cuarto puesto. En ambos casos las lineas verdes representan victorias mientras que las lineas rojas representan derrotas.

Eliminatorias Clásicas

En la segunda imagen podemos observar cómo se cumple la paradoja de la medalla de plata y la medalla de bronce: El equipo que acaba en segunda posición ha ganado los dos primeros partidos y ha perdido el tercero mientras que el equipo que se lleva el bronce ha ganado el primero y el tercero pero ha perdido el segundo. Ambos han ganado y perdido el mismo número de partidos pero el que ha perdido más tarde se ve recompensado con la plata.

Se puede argumentar que perder contra un equipo que ha llegado a la final tiene más mérito que perder contra un equipo que ha llegado a la semifinal. Sin embargo eso no siempre es cierto, ya que el segundo y el tercero pueden haber perdido contra el primero en ambos casos y tan sólo la suerte (y el orden en el que se emparejan los equipos en las primeras rondas) determina quien se lleva qué medalla.

Eliminatorias completas

Hasta aquí llega lo observado en la paradoja original, pero resulta que la cosa es peor de lo que parece.

Si generalizamos un poco podemos imaginar un sistema de eliminatorias en el que los equipos que pierden se enfrentan a otros equipos que han perdido hasta conseguir clasificarlos a todos del primero al último.

En la siguiente imagen (izquierda) podemos ver un ejemplo de dicha Eliminatoria Completa:

Eliminatorias Generalizadas

Es bonito observar que cualquier equipo puede llegar a cualquier puesto ganando y perdiendo los partidos adecuados de una única manera.

Más interesante aún es fijarnos en la imagen de la derecha. En ella podemos observar lo que le va a pasar al equipo A (xD) en función de los partidos que gane o pierda. Gracias a esta imagen resulta sencillo darse cuenta de que para alcanzar el segundo, el tercero o el quinto puesto es necesario ganar y perder el mismo números de partidos (2 y 1 respectivamente).

Esto es todavía más injusto que lo anterior ya que en este caso el equipo que quede en quinto lugar tendrá delante suyo al cuarto clasificado, que ha perdido más partidos y ha ganado menos. Además hay que darse cuenta de que es posible que el quinto sea mejor incluso que el segundo ya que si en la primera ronda le ha tocado enfrentarse con el campeón no podemos asegurar que el segundo le hubiese ganado ni siquiera suponiendo que ganar a sea transitivo.

Conclusiones

El orden en el que se emparejan los equipos en un principio es muy determinante en este tipo de competiciones. Por ello se suelen utilizar cabezas de serie basados en clasificaciones previas y otros tejemanejes por el estilo que aseguran que los mejores equipos (a priori) se enfrentarán en la parte final de la competición y obtendrán así unos puestos acordes con su calidad.

Estructura Tetraédrica de las Eliminatorias

No hace falta que diga lo injusto que es esto para los equipos modestos.

Es evidente pues que este sistema es mucho menos fiable que, por ejemplo, una liguilla y por lo tanto es conveniente evitarlo siempre que sea posible. Y si lo que se necesita es un método rápido y fiable para clasificarlos a todos es recomendable usar variantes más sofisticadas como el sistema suizo.

BOLAEXTRA: En la última imagen puede apreciarse mejor la estructura tetraédrica de las competiciones tipo Eliminatoria Completa.

Además es interesante ver que los nodos de un mismo nivel son indistinguibles entre sí (se trata de una competición muy simétrica) y que las caras del tetraedro están formadas por árboles, dos de los cuales tienen por raíz un equipo mientras que los otros dos tienen por raíz un resultado.

Toda esta estructura puede ser de ayuda para estudiar en más profundidad el sistema y sus peculiaridades.

Escrito en 29/06/09 10:00 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

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:) Interessant anàlisi. Va bé anar recordant els trapis que es fan perquè els equips que “han d’arribar a la final” hi arribin…

En començar a llegir, em pensava que et referiries al fet que, per exemple als Jocs Olímpics, els atletes que guanyen el bronze queden molt més satisfets en general que els que guanyen la plata: els de bronze es comparen amb els que no han guanyat res, mentre que els de plata es comparen amb el que ha guanyat l’or (la medalla de plata es perd davant del primer, la de bronze es guanya davant de la resta de participants)

Meldor | 29/06/09 10:33 | #
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Conèixes un sistema que es diu “Doble eliminació”? Els equips que perden van caienta un altre quadre amb els que van perdent al quadre principal. La idea és que ningú no quedi eliminat fins que no perd DOS partits. És molt popular als USA, per torneigs amateurs i casolans, així tothom té garantit dos partits.

Aquí pots veure la idea i un exemple.

http://en.wikipedia.org/wiki/Double-elimination_tournament

Pep | 29/06/09 22:01 | #
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No me había parado a pensar en lo del 5º lugar!!

El sistema suizo hace años que tratamos de implantarlo en las Ligas de Debate, pero no hay manera…el estilo tradicional siempre prevalece :S

Eisenreich | 30/06/09 03:47 | #
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Esto me recuerda a lo injusto de la posición de la selección de baloncesto de España en las olimpiadas de Atenas 2004, en las que quedó 7º y sólo perdió un partido de (creo que) 8.

Alvaro | 23/12/09 11:35 | #

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