La regla del 70

Regla del 70

En un post de Make Me Minimal sobre lo mal que comprendemos el crecimiento exponencial apareció el otro día una curiosa regla de aproximación que me gustaría compartir.

Se trata de algo así como La regla del 70 que por lo visto se conoce desde 1494 y dependiendo de la fuente consultada se conoce como Regla del 69, Regla del 70 o Regla del 72.

¿Pero exactamente en qué consiste?

Pues muy sencillo, supongamos que nos dicen que una cosa crece un 5 % al año y queremos saber cuanto tardará en doblar su tamaño. Es decir, ¿si pongo 100€ en el banco y me dan un 5% de interés anual cuanto tardaré en tener 200€?

Podemos hacerlo por la vía complicada:

X · 2 = X · 1,05 t

2 = 1,05 t

log(2) = log(1,05) · t

t = log(2)/log(1,05) ≈ 14,2067 años

O por la vía sencilla:

t ≈ 70/5 = 14 años

Hay que dejar claro que el primer método es el correcto y que el segundo es una mera aproximación, pero me parece una excelente manera de aproximar a ojo este tipo de valores y una herramienta imprescindible para entender el crecimiento exponencial.

La gracia es que cambiando el 5 por el porcentaje que toque en cada momento la aproximación sigue valiendo. Y, obviamente, usando 72 o 69 en vez de 70 la aproximación también es razonablemente buena pero resulta más difícil de calcular mentalmente.

Pero… ¿Es una buena aproximación?

La respuesta es que sí. En la gráfica de arriba tenéis representadas ambas funciones. En el eje horizontal aparecen los diferentes porcentajes de crecimiento y en el vertical los años necesarios para doblar la cantidad de lo que está creciendo. En verde aparece el cálculo exacto y en rojo la aproximación. Para valores pequeños, que son los más habituales en economía y ciencias sociales, son prácticamente indistinguibles.

BOLAEXTRA: ¿Alguien conoce algún otro truco de este estilo? Por ejemplo: π² ≈ 10

Escrito en 16/02/09 09:15 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

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Supongo que \pi=22/7 no vale, ¿verdad?

NaaN | 16/02/09 11:44 | #
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Para matemáticos o similares, ejercicio de Cálculo I: Sale de aproximar log(1+y) por y. Es algo mejor utilizar el 69 ya que log(2)=0.693147. Naturalmente, cuanto más próxima a 0 es la y mejor será la aproximación, de todas formas, por los intereses que normalmente se ofrecen, la y ya es suficientemente próxima a 0, je, je …
Segunda parte del ejercicio: estimar el error que se produce ;)

Miquel | 16/02/09 13:38 | #
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Un truco para raíces cuadradas: Si queremos calcular la raíz cuadrada de a basta con empezar con un valor aproximado x (puede ser 1) y calcular ( x + a / x )/2. Esto lo podemos repetir tantas veces como queramos. Según parece ya lo utilizaban los babilónicos para calcular raíz de 2, es decir la diagonal de un cuadrado de lado 1. Empezando por 1, el primer resultado da 3/2 y el segundo 17/12 ya con dos cifras decimales exactas de la raíz de 2, que para la época les sobraba. Observación para matemáticos o similares: es el método de Newton para ceros de funciones, que, como he contado más de una vez, no se aplicaba como se cuenta actualmente en los libros.

Miquel | 16/02/09 20:14 | #
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Un poco de refilón con este tema recomiendo visionar esta charla, http://www.youtube.com/watch?v=F-QA2rkpBSY

Hugo | 17/02/09 13:11 | #
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La aproximación parece genial, pero lo que no logro entender es por qué (en relación al texto de Make Me Minimal) es más fácil entender la exponencialidad en tiempo para doblarse que en porcentaje de crecimiento. A fin de cuentas, si la limitación humana pasa por la interpolación lineal de los datos, lo idóneo seria proporcionar 3 o 4 puntos de la gráfica en lugar de solamente dos, ¿no?

p.d: Hablando de trucos, estoy muy interesado en aprender a calcular rápidamente porcentajes de cabeza (ie, 14% de 540, o bien saber traducir expresiones del tipo 2/9 a porcentaje decimal)

Eisenreich | 22/02/09 15:39 | #
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@Eisenreich: La gente entiende mucho mejor el hecho de que de aquí a x años habrá el doble de algo y de aquí a 2x habrá el doble del doble que un crecimiento de un Y% porque, sencillamente, muchos ni siquiera saben manejar porcentajes con soltura (y sin embargo todos saben lo que cuesta conseguir el doble de espacio para guardar los cacharros que ya no quieren en casa o lo que molaría que el dinero se te multiplicara por 2 cada cierto tiempo).

En referencia a los porcentajes y las fracciones de memoria… Te recomiendo aprenderte los más usuales (5% = dividir por 20, 10% = dividir por 10, …) y luego aproximar los otros (14% es algo menos del 15% que es igual a dividir por 20 y multiplicar por 3). Con las fracciones lo mismo.

Carlos Luna | 22/02/09 16:38 | #
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eres horrible

n | 22/03/12 23:37 | #
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no sives quiero trucos qu

emmanuel | 22/03/12 23:38 | #

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