Mecanismos antirretorno y la Paradoja de Parrondo

Trinquete

Pregunta: ¿Qué tienen en común un diodo, un circuito pneumático, el cifrado RSA, un mecanismo de trinquete y el físico español Juan Manuel Rodríguez Parrondo?

Respuesta: Esos 5 elementos hacen uso de mecanismos antirretorno. Y los mecanismos antirretorno son un tipo de mecanismo digno de estudio.

Mecanismos antirretorno por todas partes

Antes de empezar me gustaría hacer notar que los mecanismos antirretorno son mucho más comunes de lo que nos imaginamos. Además aparecen en muchas (y muy variadas) disciplinas:

  • En electrónica el diodo se usa frecuentemente como mecanismo antirretorno.

Todos esos elementos son básicos para los diferentes tipos de circuito (eléctrico, hidráulico, pneumático, etc.) y cumplen una única función: Permitir la circulación en uno de los sentidos y no en el otro.

  • En Matemáticas hay un mecanismo similar. Son las conocidas como funciones unidireccionales. Se trata de operaciones que se pueden hacer muy fácilmente pero que resultan prácticamente imposible de deshacer. El ejemplo más sencillo es por todos conocido: es muy fácil multiplicar dos números relativamente grandes. Sin embargo es tremendamente difícil encontrar los factores si te dan el resultado de la multiplicación. Es precisamente esta función unidireccional la que se usa como base del cifrado RSA.
  • También podríamos hablar de la Química, donde la mayoría de las reacciones son, de manera natural, unidireccionales. Es esta, por lo tanto, una disciplina un tanto especial ya que, al contrario que en el resto, lo raro es encontrar reacciones reversibles.

La Paradoja de Parrondo

¿Y todo esto qué tiene que ver con el señor Parrondo?

Pues muy sencillo, el señor Parrondo encontró hace tiempo un mecanismo antirretorno probabilistico muy especial. Concretamente el que da origen a la paradoja que lleva su nombre.

Supongamos que estamos jugando a dos juegos (Juego A y Juego B) cuyo valor esperado es negativo. Es decir, a la larga, cuanto más juguemos más perderemos.

Es de esperar que si jugamos una serie de rondas a esos juegos, unas veces jugando al Juego A y otras la Juego B el resultado global siga siendo desfavorable. Es decir, el valor esperado del juego mixto debería seguir siendo negativo.

Pues bien, no sólo no es así sino que Parrondo proporcionó un ejemplo donde puedes elegir aleatoriamente qué juego jugar en cada ronda y aún así obtener benefícios. Veamos ese ejemplo:

  • Juego A: En cada turno tiras una moneda trucada con la que tienes una probabilidad de 1/2-ε de ganar 1€ y 1/2+ε de perder 1€. El valor esperado para este juego es de -2ε por partida.
  • Juego B: Si la cantidad de dinero que tienes en ese momento es múltiplo de 3 tendrás que pagar 1€ con una probabilidad de 9/10+ε (y recibirás 1€ con probabilidad 1/10-ε). Si la cantidad de dinero que tienes no es múltiplo de 3 tendrás que pagar 1€ con una probabilidad de 1/4+ε (y recibirás 1€ con probabilidad 3/4-ε). Es algo difícil calcular el valor esperado para este juego (hay que usar cadenas de Markov) pero el resultado final es de aproximadamente -0.87ε

Nota 1: ε es un número positivo cualquiera. En este caso tomaremos un ε pequeño, menor que 1/10.

Nota 2: Si ε=0 el valor esperado es exactamente 0 para ambos juegos. Es decir son Juegos justos.

Nota 3: Para más detalles en el cálculo del valor esperado del Juego B visiten la web de Parrondo.

Bien, ahora que ya he soltado todo el rollo matemático de turno toca disfrutar un poco de los resultados. Y para ello nada mejor que una imagen:

Paradoja de Parrondo En el gráfico podemos apreciar los resultados de una simulación con un ε=0,005.

Se han realizado 500 partidas al Juego A, al Juego B y a dos mezclas de ambos, una que consiste en jugar dos partidas a uno y dos partidas a otro (Periodic) y otra que consiste en elegir aleatoriamente a cual de los dos jugar (Random).

Como era de esperar, tanto el Juego A como el Juego B nos hacen perder dinero. Además el Juego A tiene una pendiente más pronunciada que el Juego B ya que -2ε < -0,87ε.

Lo que no es tan previsible (y de ahí que lo llamemos paradoja) es que tanto en el caso Periodic como en el Random se obtiene un claro beneficio (a ojo unos +0,015€ por partida).

¿Por qué? Pues muy sencillo, el Juego B tiene la peculiaridad de jugarse con dos monedas, si el saldo acumulado es múltiplo de 3 jugamos con una moneda muy mala para nosotros. En el caso contrario jugamos con una que nos favorece. El truco está en que la moneda mala nos perjudica mucho más de lo que nos favorece la moneda buena así que, aunque juguemos más veces con la moneda buena, al final salimos perdiendo.

Sin embargo, si de vez en cuando jugamos al Juego A es posible que nos saltemos la tirada con la moneda mala (probabilidad de 9/10+ε de perder) haciendo una tirada no tan mala (probabilidad de 1/2+ε de perder). Y lo que es mejor: En las siguientes dos tiradas tendrás la oportunidad de tirar con la moneda buena. Cada vez que te saltas una tirada con la moneda mala tienes una oportunidad para avanzar 3 monedas con relativa facilidad y eso provoca un efecto antirretorno que hace aumentar los benefícios.

Aplicaciones

¿Y todo esto para qué? Pues el señor Parrondo en concreto aplicó su paradoja al movimiento Browniano de los gases. Su idea es conseguir un motor browniano.

En esta página tenéis una simulación del concepto de Motor Browniano así como una justificación de porqué estos motores no constituyen una máquina de movimiento perpetuo.

Estoy seguro de que se pueden encontrar muchas más aplicaciones.

[BOLAEXTRA] La Paradoja de Parrondo la descubrí precisamente gracias a un comentario. No dudéis en seguir enseñándome cosas ;-)

Escrito en 14/07/08 10:09 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

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Por un comentario?
Pues el mismo Parrondo hizo una conferencia sobre ella en la FME el curso pasado… :P

Fue interesante, no solo hablo de esta, tambien de la de San Petesburgo y alguna otra cosa de probabilidad. De hecho, hablo sobre la “solucion” de Euler a la paradoja de San Petesburgo

Yrekthelas | 14/07/08 18:45 | #
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Pues si, es una lástima, pero me perdí esa conferencia. A ver si lo pillo en la siguiente.

Carlos Luna | 15/07/08 18:11 | #
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Mmm. ¿Por qué es raro encontrar reacciones químicas reversibles?

orbitado | 15/07/08 18:19 | #
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@orbitado: Pues a riesgo de meter la gamba, porque yo de Química no sé mucho, te diré que cuando dos compuestos reaccionan es frecuente que alcancen una situación de equilibrio y por lo tanto para revertir el proceso debemos añadir otros compuestos o modificar las condiciones en las que se halla la mezcla.

Por reacciones irreversibles me refería precisamente a aquellas que requieren otros compuestos o procesos complicados para ser revertidas. Haciendo el símil con las Matemáticas: una multiplicación también se puede revertir (factorizar) sencillamente dividiendo por todos los primos menores que pueden ser factores del producto hasta encontrar un factor. Sin embargo esta operación es costosa en el mismo sentido que es costoso separar dos compuestos químicos una vez han reaccionado.

Mezclar canicas de dos colores también es un proceso (físico) fácil que tiene un proceso inverso sencillo pero costoso (separarlas una a una).

Por supuesto en química hay reacciones muy espectaculares (como por ejemplo la BZ) que no sólo es reversible sino que además entra en un bucle infinito ella solita.

Carlos Luna | 16/07/08 00:25 | #
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orbitado, tu quema algo y luego intenta recuperarlo. Verás lo difícil que es.

metge | 21/07/08 12:07 | #
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estube buscando otro tipo de antiretorno para acondicionar un tambor ascendente porque tenemos como trabador a antiretorno un freno como un rodamiento pero en lugar de billas es pedazos achatados i eso deslisa en un solo sentido de trabajo del tambor y al contario o cuando para se frena estoy buscando algo que lo remplace o indntificar como se llama a este accesorio de antiretorno ojo esto es chino

miltonrobles zabaleta | 09/11/11 21:48 | #

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