Minimizar funciones unimodales 1

Consumo de carburante

Sé que el nombre del post es cualquier cosa menos atractivo. Pero puedo prometer y prometo que la cosa tiene su miga y que además es bastante aplicable a nuestro día a día.

Estamos rodeados de cosas que pueden modelarse con una función unimodal y esta semana toca explicar cómo encontrar el punto óptimo de dichos procesos de la mejor manera posible.

Funciones unimodales

Una función matemática es unimodal si existe un valor M tal que para x ≤ M la función es decreciente y para x ≥ M la función creciente.

El punto M es, por lo tanto, el mínimo de dicha función y no existen otros mínimos relativos.

Existen muchos procedimientos que pueden modelarse con funciones unimodales. La trayectoria de una piedra lanzada al aire tiene un máximo M y cumple la condición de que antes de M es creciente y después de M decreciente (también se considera unimodal).

Un problema… ¿sencillo?

Somos unos científicos locos de la General Motors y nuestro jefe nos plantea la siguiente pregunta: ¿A qué velocidad gastaremos menos combustible para recorrer 100 Km con nuestro coche?

Pues bien, antes de nada debemos hacer algunas suposiciones: Supondremos que el consumo de gasolina depende únicamente de la velocidad. Es decir, vamos por terreno llano, a velocidad constante y con la marcha adecuada durante los 100 Km.

También podemos suponer (en base a la física elemental que todo el mundo conoce…) que el consumo será una función unimodal de la velocidad, ya que un coche con marchas largas consume proporcionalmente menos que uno con marchas cortas pero la resistencia del aire hace que sea cada vez más difícil acelerar. Así que es probable que la función tenga una forma más o menos parabólica (como la que aparece en la gráfica superior).

Así pues el problema consiste en hallar el mínimo de una función unimodal (desconocida).

Veamos cómo.

Una solución experimental

Intentar aplicar toda la física de sólidos y fluidos que ya conocemos a este problema nos proporcionaría resultados muy pobres y plagados de errores. Por no hablar de lo caro y difícil que es determinar todos los factores implicados y calcular las correspondientes constantes.

Es mucho más razonable, por lo tanto, realizar una serie de experimentos y acotar, aproximadamente, la velocidad óptima.

Para ello es importante fijar un intervalo razonable (digamos entre 0 y 120 km/h) y empezar ha a hacer mediciones experimentales en dicho intervalo (haciendo circular un coche a una velocidad fija durante 100 Km y midiendo su consumo) hasta determinar donde está el mínimo.

¡Pero ojo! Estos experimentos, bien hechos, son caros y no podemos derrochar el dinero así como así. Nuestro jefe nos da presupuesto para, tan sólo, 10 mediciones. ¿Cómo las debemos hacer para encontrar el mínimo con la máxima precisión posible?

BOLAEXTRA: Los que NO sepan la respuesta pueden dejar su apuesta en los comentarios. Agradeceré ideas, medias ideas y, en general, cualquier cosa que demuestre que habéis entendido lo complicado que es el tema. El miércoles daré una pista y el viernes daré la respuesta correcta.

Escrito en 06/07/09 10:09 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

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empezar ha hacer

Eisenreich | 10/07/09 08:34 | #

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