Teoría de Juegos: Derecho a veto

Voto

La Teoría de Juegos es una rama de las matemáticas que nos permite estudiar cuantitativamente las relaciones que se establecen en terrenos donde entran en conflicto diversos intereses.

Dicho así suena abstracto y feo, pero existen muchos ejemplos que son de utilidad a la hora de entender cómo de útil puede ser la Teoría de Juegos para evitar que nos la den con queso.

Y es que, bien usadas, las matemáticas pueden ser de mucha utilidad para evitar que nos timen y nos manipulen. Y si no lean algún libro de John Allen Paulos.

Un sistema de voto sencillo

Imaginen un sistema de voto donde hay N votantes y cada uno de los cuales puede votar “Si” o “No” a una determinada propuesta. Para que la propuesta se apruebe el número de votos positivos (Nsi) tiene que ser mayor o igual a un determinado valor L.

  • Por ejemplo: En una reunión de vecinos se presentan 15 personas y tienen que decidir si ponen una TDT comunitaria. Se necesita que al menos la mitad de los vecinos vote a favor para que se apruebe la propuesta. Entonces N=15 y L=8.
  • Por ejemplo: Los 350 diputados de un parlamento votan un proyecto de ley y este tiene que ser aprobado por 2/3 de la cámara para salir adelante. Entonces N=350 y L=234.

Un sistema de voto más general

El sistema anterior es muy común y, dependiendo del valor de L, podemos ajustar el tipo de resultados que obtendremos. Sin embargo, se puede generalizar todavía un poco más otorgando a cada participante un número diferente de votos (el participante X tiene Vx votos).

Nota: Para simplificar las cosas supondremos que cada participante puede usar sus votos como un pack indivisible: o todos los votos para el “Si” o todos los votos para el “No” pero en ningún caso mezclados.

  • Por ejemplo: En una votación participan 4 partidos políticos: A, B, C y D. El partido A tiene 5 votos, el partido B tiene 3 votos, el partido C tiene 2 votos mientras que el partido D tiene 1 voto. Para ser aprobada la moción se necesitan 6 votos. Entonces N=4, L=6, Va=5, Vb=3, Vc=2 y Vd=1.

Este sistema de voto nos permite comparar el poder relativo de los participantes, que es proporcional al número de votos que tiene cada cual.

  • Por ejemplo: En el caso anterior, A tiene 5 veces más poder que D y más del doble que C. B tiene 3 veces más poder que D y una coalición entre B y C tiene el mismo poder que A.

Existen otros métodos para comparar el poder en este tipo de votaciones, pero este sistema es el más fácil e intuitivo.

Un sistema de voto feo: derecho a veto

Lamentablemente la vida es más complicada que todo esto y, en muchas ocasiones, las votaciones siguen sistemas más esotéricos.

Un sistema de voto especialmente difícil de evaluar es aquel que es exactamente como el anterior pero incorpora el derecho a veto. Es decir, algunos participantes tienen el privilegio de hacer que una moción sea denegada siempre que votan en contra. O lo que es lo mismo, si ellos votan “No” da igual lo que haga el resto de los participantes, la propuesta será denegada.

El problema de el derecho a veto es que intuitivamente sabemos que le otorga mucho poder a quien lo tiene pero cuantitativamente resulta difícil comparar el poder relativo de un participante con derecho a veto y un participante sin él.

Simplificando

Una manera de cuantificar el poder relativo en un sistema que incorpora el derecho a veto para algunos participantes es convertirlo en un sistema sin derecho a veto equivalente. En este caso equivalente quiere decir que si los participantes que votan “Si” en un sistema votan “Si” en el otro y los participantes que votan “No” en un sistema votan “No” en el otro en ambos casos obtendremos el mismo resultado (se acepta o se rechaza).

Una vez lo tenemos en un sistema de voto generalizado sin derecho a veto (como el que hemos visto dos secciones más arriba) es fácil comparar el poder relativo de los diferentes jugadores.

Ejemplo

Veamos un ejemplo sencillo de cómo funciona esto:

Supongamos un sistema de voto en el que hay X participantes del tipo 1 y Y participantes del tipo 2. Todos los participantes tienen un sólo voto (que puede ser “Si” o “No”) y todos los votos valen lo mismo pero los participantes del tipo 1 tienen derecho a veto. Es decir, para que una propuesta sea aceptada tienen que votar a favor todos los participantes del tipo 1 y, además, tienen que votar a favor al menos L participantes (entre los del tipo 1 y los del tipo 2).

Esto se puede traducir como:

  • Xsi = X (todos los del tipo 1 votan a favor)
  • Xsi + Ysi >= L (en total hay L votantes a favor como mínimo).

Tranquilos, es un sistema de ecuaciones, no muerde.

  • Por ejemplo: En el Consejo de Seguridad de la ONU hay representados 15 paises, de los cuales 5 son permanentes y 10 son temporales. Los permanentes (Estados Unidos, Francia, el Reino Unido, la República Popular China y Rusia) tienen derecho a veto. Finalmente, se requieren 9 votos afirmativos para que una propuesta sea aceptada. Entonces: N=15, X=5, Y=10 y L=9.

Queremos expresar todo esto en un modelo en el que los participantes del tipo 1 tengan V1 votos cada uno y los participantes del tipo 2 V2, de manera que sea necesarios Q votos para que una resolución salga adelante. Q será, en general diferente a L y, por simplicidad, podemos suponer que V2 = 1 y calcular Q y V1 para que este sistema de voto sea equivalente a uno con veto.

Todo esto se puede resumir en un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

  • V1·X + 1·(L-X-1) = Q-1
  • V1·(X-1) + 1·Y = Q-1

Nota: Hay otras maneras de expresarlo que, quizá den resultados diferentes, pero esta es correcta y, en cierto sentido, la más sencilla.

El resultado del anterior sistema de ecuaciones es:

  • V1 = X+Y-L+1 = N-L+1
  • Q = X·(X+Y-L) + L = X·(V1 – 1) + L

¿Y todo eso qué significa? Pues muy sencillo, vamos por partes.

La primera ecuacion (V1 = X+Y-L+1 = N-L+1) nos dice que los paises de tipo 1 tienen N-L+1 votos mientras que los paises del tipo 2 tan sólo tienen 1.

La segunda ecuación (Q = X·(X+Y-L) + L = X·(V1 – 1) + L) nos dice que el nuevo límite, Q, es siempre mayor que el anterior, L. Concretamente se necesitan X·(N-L) votos más para aprobar cualquier cosa.

Menudo lío ¿no? Bueno, que no cunda el pánico, para eso estamos los matemáticos. Veamos un último ejemplo y seguro que todo queda más claro.

  • Ejemplo: Siguiendo con el ejemplo del consejo de seguridad de la ONU, donde N=15, X=5, Y=10 y L=9, tenemos que, aplicando las fórmulas, sale: V1 = 15-9+1 = 7, V2 = 1 y Q = 30. Esto significa que los 5 miembros permanentes tienen 7 votos, los 10 miembros temporales tan sólo 1 y se necesitan 30 votos a favor para que se apruebe una propuesta. Ahora es mucho más sencillo darse cuenta de que un miembro permanente tiene 7 veces más poder que cualquiera de los miembros temporales (ni más, ni menos).

Y son estas cosas las que me hacen amar las matemáticas.

Escrito en 10/10/08 10:08 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

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Ostras! puede sonar a broma eh! però me ha quedado mucho más claro!! JAJAJAJAJA

No, en serio, no he profundizado en las últimas ecuadiones pero me ha quedado más que claro el concepto. Si alguna vez vuelvo a ser niño te quiero de profe de mates!

Goshi | 10/10/08 12:24 | #
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:)

Ja estic esperant la propera actualització on expliquis altres formes de vot i els diferents resultats que poden donar lloc.

Epsilon | 13/10/08 22:11 | #
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Los posts divulgativos son los que más molan.

We want more of this !!

Eisenreich | 16/10/08 20:33 | #
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Paciencia, paciencia, la semana que viene habrá más.

Carlos Luna | 16/10/08 21:35 | #
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Grande Carlitos. El ejemplo que pones (ONU) también puede ser considerado como un (3,2)-juego si entramos como 3r input la posibilidad de abstención, de manera que los pesos de cada jugador pasan de ser [7,…,7,1,…1] con cuota 39 a ser (1,0,-6) en el caso de los permanentes (1 cuando votan a favor, -6 cuando lo hacen en contra y 0 cuando se abstienen), y (1,0,0) en el caso de los rotatorios, con cuota 9. Si conoces algún otro sistema de votación de alguna otra organización más o menos importante en el que también entre en juego la abstención, me lo podrías decir por mail? Muchas gracias y a seguir divulgando las mates! ;)

NuMaN | 27/08/09 19:18 | #

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