Teoría de la Información en la estación de Provença

Hace unos días publiqué una breve reseña sobre el libro Ideas sobre la complejidad del mundo de Jorge Wagensberg.

Hoy quisiera ampliar un poco dicha reseña centrándome en una idea especialmente elegante que Wagensberg describe en apenas un par de páginas.

Teoría de la Información en la estación de Provença

En el segundo capítulo del libro (que por sí sólo ya justificaría la compra del mismo) Wagensberg ensalza el concepto matemático de Información y reclama para el mismo un puesto de lujo entre las magnitudes fundamentales de la Ciencia.

En particular, enfoca la interacción entre un sistema (X) y el entorno en el que vive (Y) desde el punto de vista de la Teoría de la Información:

Consideremos, en primer lugar, el sistema como fuente donde se origina un mensaje destinado al entorno. La cantidad de información contenida en la fuente depende de su diversidad potencial de comportamiento. Una piedra tiene, como tal, menos estados accesibles que un árbol, un árbol menos que una lombriz, una lombriz menos que un mono, un mono menos que un hombre de las cavernas. Y está claro que el repertorio de un hombre de las cavernas es menor que uno de un ciudadano de la sociedad industrial. Es la complejidad del sistema, primera cantidad fundamental.

Dicha cantidad es, en realidad, H(X), la entropía de la variable aleatoria X que modela los estados posibles del sistema: H(X) = -Σ p(x)·log(p(x))*

Atendamos ahora al entorno como fuente de un mensaje destinado al sistema. La información original depende, también aquí, de la riqueza de posibles comportamientos de la fuente, en este caso, del entorno. Una porción del espacio interestelar tiene menos estados accesibles que igual volumen en las profundidades marinas, éste menos que un pedazo de desierto y éste menos que un trozo de bosque o de paisaje urbano. Es la complejidad del entorno, o, digamos mejor, es la incertidumbre del entorno, segunda cantidad fundamental.

De igual manera, esta cantidad será: H(Y) = -Σ p(y)·log(p(y)).

Pero no toda la información que sale del sistema llega al entorno. Ni viceversa. El primer error corresponde a la diversidad de comportamiento que disfruta un sistema, una vez se ha fijado cierto comportamiento del entorno. Cuanto menor sea este error, menos son las dudas del sistema respecto a su entorno y más limita el entorno las posibilidades del sistema. Poco cambia el comportamiento de una piedra frente a las inclemencias ambientales; más, aunque lentamente, lo hace una planta con sus fotos e higrotropismos; aún más una lombriz capaz de seguir humedades, pero no de esquivar manotazos, y así hasta las notables prestaciones del hombre moderno. Es la capacidad de anticipación del sistema, tercera cantidad fundamental.

En este caso tenemos una entropía condicionada, H(X|Y), que es la complejidad del sistema X condicionada al comportamiento de su entorno Y. Esta cantidad es la media ponderada de la complejidad del sistema X para todas las posibles situaciones en las que se puede encontrar:

H(X|Y) = Σ p(y)·H(X|Y=y) = -ΣΣ p(y)p(x|y) log(p(x|y))

El error inverso, la información que, saliendo del entorno, no llega al sistema, depende, análogamente, de la variedad de estados del entorno compatibles con un comportamiento dado del sistema. Cuanto menor sea su valor, más afectado se ve el entorno por el acontecer del sistema. En un prado, una oveja influye más que una abeja. Es la sensibilida del entorno, cuarta cantidad fundamental.

Que será: H(Y|X) = Σ p(x)·H(Y|X=x) = -ΣΣ p(x)p(y|x) log(p(y|x))

La información neta que llega a un destino se obtiene, lógicamente, sustrayendo el error a la información de la fuente. Por lo tanto: la complejidad del sistema menos su capacidad de anticipación no es sino la información que el comportamiento del entorno provee sobre el comportamiento del sistema.

H(X) – H(X|Y) = I(X;Y)

Y en el sentido inverso: la incertidumbre de un entorno menos su sensibilidad no es sinoa la información que el comportamiento del sistema provee sobre el comportamiento del entorno.

H(Y) – H(Y|X) = I(Y;X)

Pues bien, una segunda ley fundamental establece que ambos mensajes contienen idénticas cantidades de información (demostrado, por ejemplo, por Michael Conrad).

I(X;Y) = I(Y;X)

Se trata de una identidad que rige el cambio del mundo con respecto a cualquiera de sus partes. Una perturbación en un término de la ecuación requiere la inmediata reacomodación de los otros tres. Si, por ejemplo, aumenta la incertidumbre del entorno, entonces el sistema debe aumentar su complejidad (!), esmerar su capacidad de anticipación (!!) o inhibir su efecto en el entorno (!!!). Hay cuatro términos para jugar y una ley que respetar. Cuando ello ocurre, cuando en la dialéctica sistema-entorno se sortean todas las dificultades y se consigue no violar la ley fundamental, entonces decimos que hay adaptación.

Así pues, de una manera elegante y rigurosa hemos llegado a la siguiente relación:

Complejidad de X + Capacidad de anticipación de X – Sensibilidad de Y = Complejidad de Y

Y podemos deducir cosas como que en épocas de crisis tan sólo sobreviven aquellos individuos suficientemente complejos, suficientemente previsores y suficientemente discretos. Y esto vale tanto para la selva, como para un país bajo el mando de una dictadura militar, como para el entorno empresarial moderno.

Interesante, ¿no?

Estación de Provença - FGC - Barcelona BOLAEXTRA:

Pues bien, en un increíble alarde de valentía por parte de las autoridades de la Ciudad Condal, todas estas fórmulas están garabateadas en una escultura de Jordi Benito que adorna permanentemente el suelo de la estación de ferrocarriles de Provença.

Esta obra de arte, titulada Meeting Point, es, en realidad, un homenaje a Pompeu Fabra y en ella figura su frase “Amb un acte de paraula podem expressar més d’un pensament”, que Wagensbeg desarrolló matemáticamente usando las fórmulas anteriores (y alguna más).

Hasta ahora no tengo noticias de ningún síncope debido a la exposición a las mismas, si bien no descarto que se haya dado el caso. ;-)

Escrito en 15/02/10 10:12 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

Gravatar.com se ha roto

La fórmula y el contexto crean un lugar precioso para hacer un transbordo. Yo lo hago un par de días a la semana y lo adoro.

Ahora sí, por las fórmulas no lo creo, pero por obras de Jordi Benito sí que alguien ha tenido por lo menos mal rollo. Un artista underground de verdad (y así murió, solo y descuidado).

NaaN | 15/02/10 20:26 | #
Gravatar.com se ha roto

Si podemos medir la influencia que ejercemos sobre el sistema “mundo” a partir de còmo nos comportamos, còmo somos, còmo nos sentimos, que està encubierto bajo el principio “esta època”. Pero “esta època” somos nosotros ejercièndola…

hugo luchetti | 04/06/10 21:08 | #

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