Tres círculos secantes

3 Círculos Secantes

El otro día en Gaussianos apareció un problema muy bonito de Geometría Sintética llamado: Los círculos secantes. Y no sé si lo habré dicho alguna vez pero… ¡me encanta la Geometría Sintética!

Planteamiento

Dibujamos tres círculos de radio 1 con centros en X, Y y Z de manera que se corten en un mismo punto O. Esta construcción producirá en general otros 3 puntos de intersección de los círculos que llamaremos A, B y C.

El problema es tan sencillo como demostrar que A, B y C también se encuentra sobre un círculo de radio 1 (que no está dibujado).

Observaciones

3 Círculos Secantes 2 Tres puntos no alineados del plano siempre definen un único círculo así que de lo que se trata es de demostrar que el círculo que definen A, B y C tiene radio 1. Una buena manera de hacerlo es encontrar un punto O’ que esté a distancia 1 de A, B y C ya que ese será el centro del círculo que buscamos.

Por ejemplo, sabemos que los puntos X, Y y Z están sobre un círculo de radio 1 porque existe un punto (concretamente, el punto O) que está a distancia 1 de todos ellos.

Por otro lado, resultará de gran ayuda olvidarse de todas esas líneas circulares de color azul y trabajar con rectas (en la imagen, de color rojo) ya que, en general, tenemos mucha más artillería matemática para trabajar con rectas que para trabajar con círculos.

Demostrando que es gerundio

3 Círculos Secantes 3 Ahora que ya hemos despejado un poco el problema y hemos aclarado lo que estamos buscando vamos a ello.

Todas los segmentos de la imagen tienen longitud 1 porque se corresponden con radios de las circunferencias iniciales.

Así pues tenemos tres rombos regulares (con los 4 lados iguales) en la figura. Ahora bien, los rombos regulares son paralelogramos, es decir, sus lados opuestos son paralelos.

Así, sabemos que XC // OZ // YB, que YA // OX // ZC y que ZB // OY // XA. Y por lo tanto los lados opuestos del hexágono XAYBZC son paralelos.

Además, como los ángulos opuestos de un rombo regular son iguales tenemos que el ángulo ZBY es igual al ángulo YOZ y, como OZ // XC y OY // XA, también es igual al ángulo AXC. Haciendo lo mismo para los otros ángulos del hexágono tenemos que los ángulos opuestos del hexágono también son iguales.

Resumiendo, podemos girar el hexágono 180º desde su centro (que en general NO será el punto O) y volverá a encajar sobre si mismo; pero ahora, la “Y” que formaban los puntos X, Y, Z y O estará formada por A, B, C y un punto que llamaremos O’. Como los giros rígidos conservan las longitudes: |AO’| = |BO’| = |CO’| = 1 y por lo tanto A, B y C está sonbre un círculo de radio 1.

BOLAEXTRA: El problema lo resolví a ojo por un método un poco más interesante: Una vez te quedas con las lineas rectas y te olvidas de los círculos, el dibujo de un cubo salta a la vista y entonces se hace evidente que tienes que buscar la esquina oculta del cubo para resolver el problema. Lamentablemente es mucho más difícil formalizar la proyección paralela de un cubo en el plano que hablar de rombos, hexágonos y paralelas…

Escrito en 22/12/08 09:22 por Carlos Luna en las categorías:

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