XI Marató de Problemes: Factoriales

Un par de preguntas que aparecieron en la pasada Marató de Problemes de la FME.

Pregunta 1: ¿En cuantos ceros acaba el número 1000! (1000 factorial)? ¿Puedes dar una fórmula general (o un método general) para calcularlo en el caso N! (con N natural)?

Pregunta 2: En la antigua Grecia ya sabían que hay infinitos números primos pero por motivos obvios en la actualidad todavía se conoce un número finito de ellos. ¿En qué cifra acaba el producto de todos los números primos conocidos hasta la fecha? ¿Qué se puede decir respecto a la segunda cifra de ese número (la de las decenas)?

A ver quien llega primero a los comentarios ;-)

Escrito en 01/12/08 09:53 por Carlos Luna en las categorías:

Comentarios

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Lo que es llegar a los comentarios, llego yo primero. Lástima que por ser el co-organizador ya sepa las respuestas :P

Solaufein | 01/12/08 11:04 | #
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El segundo a llegar soy yo pero ya participé en la maraton, así que lo dejo para el tercero.

NeKo | 01/12/08 11:59 | #
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Ahora mismo estoy sentada al lado de Carlos y no me deja contestar, así que dejo el placer al cuarto que llegue.

NaaN | 01/12/08 13:02 | #
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La primer respuesta me da fiaca ahora (recién desayuné) :-)

Pero la segunda respuesta es 0, ya que entre esos primos están el 2 y el 5.

La cifra de las decenas no puede ser 0. La demostración la dejo al quinto comentarista :-)

Marcos | 01/12/08 14:56 | #
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Bueno, en el segundo problema tb se puede decir que la cifra de las decenas del numero N es 1, 3, 7 o 9. Ya que la penultima cifra de N es la ultima cifra del resultado de dividir N/10. Y es N/10 es el producto de numeros salvo 2 y 5, es decir, ni acaba en par ni acaba en 5.
No se si se puede todavia puede reducir el cojunto de numeros,
saludos

Edmond | 01/12/08 15:58 | #
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Sobre el primer problema, nose si estara bien, pero mi resulado es 249.
Digo un poco la idea de donde lo he sacado…he supuesto que en 1000! el factor 5 esta menos veces que el factor 2(creo que es una suposicion que no seria dificil demostrar), asi que como los 0’s de 1000! se hacen al multiplicar parejas de 2 y 5 , bastara con contar el numero de veces que aparece el factor 5 en el numero 1000. Dicho numero responde a contar las veces que aparecen los multiplos de 5, de 25, de 125, de 625…antes de 1000. Total, que el numero de veces que aparece el factor 5 sera
1000/5+1000/25+1000/125+floor(1000/625)=249

En general, para un numero N cualquiera, el numero de ceros que tendra sera
floor(n/5)+floor(n/25)+floor(n/125)+floor(n/625)+…

*siendo floor la funcion parte entera

Edmond | 01/12/08 16:15 | #
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… esto … ups, perdonen si les molesto… ¿puedo participar, aunque sea de Letras?
Ésta es mi versión de respuestas:

- a la pregunta 1: fácil, el número 1.000 acaba en tres ceros. Fórmula general: el de la unidad, el de la decena y el de la centena. ¡Vaya pregunta, no?!! Y el número N acaba en…, pero a ver… ¿todavía no les han enseñado a ustedes que N es una letra y no un número? Ay, tanto internet, tanta facultad y tanta tontería y luego no me saben diferenciar entre letras y números!

- a la pregunta 2: la cifra en que acaba el producto de todos los números primos conocidos hasta la fecha debe de ser 0, digo yo. Y la anterior también. ¿O es que con cifras tan altas no se le ha ocurrido a nadie redondear?

jejeje… espero que me perdonen la broma. Me he sentido tan ignorante cuando he leído las preguntas que no he podido más que hacer un chascarrillo.
Saludos

Montse | 01/12/08 16:25 | #
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Un 10 para Solaufein, Neko y NaaN por no participar.

Un 10 para Marcos por madrugar con estas cosas.

Un 10 para Edmon por clavar ambas soluciones.

Y un 10 para Montse por intentarlo ;-)

Carlos Luna | 01/12/08 21:28 | #
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Per cert, la pregunta 101 del bloc VI (la del joc de les tres cartes) tenia solució o era impossible? A mí em donava que no podia ser.

Sete | 02/12/08 22:44 | #
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aaargh! Recitifico, ho acabo de veure ara, posa enter, no pas natural, no vaig tenir en compte els negatius… no, si quan un és tonto…

au, perdó per l’intromissió XD

fins aviat!

Sete | 02/12/08 22:48 | #

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